Question

如图，是函数y=Asin（ωx+φ），（-π＜φ＜π）的图象的一段，O是坐标原点，P是图象的最高点，A点坐标为（5，0），若|

OP

|=

10

，

OP

•

OA

=15，则此函数的解析式为

y=sin(

π

4

x-

π

4

)

．

Answer 1

分析：设P（x₀，A），依题意利用向量的数量积的坐标运算通过解方程可求得x₀与A的值，继而可求得其周期T，从而可求得ω与φ．

解答：解：设P（x₀，A）（A＞0），则

OA

=（x₀，A），
∵|

OP

|=

10

，
∴

OP

2=x02+A²=10，①
又

OP

•

OA

=15，A点坐标为（5，0），
∴5x₀+0×A=15，
∴x₀=3；
将x₀=3代入①得A=1．设其周期为T，
∵

T

4

=5-3=2，
∴T=8，令ω＞0，又T=

2π

ω

，
∴

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

．
又函数y=sin（

π

4

x+φ）过A（5，0），且在[3，5]上单调递减，
∴

π

4

×5+φ=2kπ+π，k∈Z，
令k=0，得φ=-

π

4

．
∴y=sin（

π

4

x-

π

4

）．
故答案为：y=sin（

π

4

x-

π

4

）．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查向量的数量积与方程思想，求得x₀与A的值是关键，也是难点，属于中档题．