Question

16．已知函数f（x）=|x-$\frac{1}{a}$|+|x+2a|（a∈R，且a≠0）
（Ⅰ）当a=-1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）证明：f（x）≥2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；
（Ⅱ）根据绝对值的性质以及基本不等式的性质证明即可．

解答 （Ⅰ）解：a=-1时，f（x）=|x+1|+|x-2|≥5，
x≥2时，x+1+x-2≥5，解得：x≥3，
-1＜x＜2时，x+1+2-x≥5，无解，
x≤-1时，-x-1-x+2≥5，解得：x≤-2，
故不等式的解集是{x|x≥3或x≤-2}．
（Ⅱ）证明：f（x）=|x-$\frac{1}{a}$|+|x+2a|≥|x+2a+$\frac{1}{a}$-x|=|2a|+|$\frac{1}{a}$|≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当|2a|=|$\frac{1}{a}$|，即a=$±\sqrt{2}$时”=“成立．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．