Question

设常数a＞0，(ax2+

1

x

)4展开式中x3的系数为

3

2

，则a=

 

；

lim

n→x

（a+a²+…aⁿ）=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式通项公式Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（

1

x

）^r，整理后，令x的次数等于3，从而解得a，
（2）由a=

1

2

＜1，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，利用无穷递降等比数列的各项和公式，可得解．

解答：解：（1）由Tr+1=c₄^r（ax²）^4-r（

1

x

）^r，整理得Tr+1=c₄^ra^4-rx8-

5

2

r，
r=2时，即c₄²a²=

3

2

，∴a=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

（2）由a=

1

2

，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（

lim

n→∞

sn=

a1

1-q

），
可知

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

a

1-a

═

1 2

1- 1 2

=1．
故答案为：1．

点评：本题（1）主要考查二项式展开式特定项的系数的求法，需要熟记展开式的通项公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常见题型．
（2）主要考查等比数列求和公式及极限的运算，需要注意：当a的绝对值小于1时，

lim

n→∞

aⁿ=0，要记住无穷递降等比数列各项和公式

lim

n→∞

s_n=

a1

1-q

．在选择填空中可以加快速度．