Question

已知函数y=x+

a

x

有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，

a

]上是减函数，在[

a

，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+

2b

x

(x＞0)在（0，4]上是减函数，在[4，+∞）上是增函数，求b的值．
（2）设常数c∈[1，4]，求函数f(x)=x+

c

x

(1≤x≤2)的最大值和最小值；
（3）当n是正整数时，研究函数g(x)=xn+

c

xn

(c＞0)的单调性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件知

2b

=4，由此可知b=4．
（2）由

c

∈[1，2]，知当x=

c

时，函数f（x）=x+

c

x

取得最小值2

c

．再由c的取值判断函数f(x)=x+

c

x

(1≤x≤2)的最大值和最小值．
（3）设0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）=

x

n 2

+

c

x n 2

-

x

n 1

-

c

x n 1

=(

x

n 2

-

x

n 1

)(1-

c

x n 1 x n 2

)．由此入手进行单调性的讨论．

解答：解：（1）由已知得

2b

=4，
∴b=4．
（2）∵c∈[1，4]，
∴

c

∈[1，2]，
于是，当x=

c

时，函数f（x）=x+

c

x

取得最小值2

c

．
f（1）-f（2）=

c-2

2

，
当1≤c≤2时，函数f（x）的最大值是f（2）=2+

c

2

；
当2≤c≤4时，函数f（x）的最大值是f（1）=1+c．
（3）设0＜x₁＜x₂，g（x₂）-g（x₁）
=

x

n 2

+

c

x n 2

-

x

n 1

-

c

x n 1

=(

x

n 2

-

x

n 1

)(1-

c

x n 1 x n 2

)．
当

2n	c

＜x₁＜x₂时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在[

2n	c

，+∞）上是增函数；
当0＜x₁＜x₂＜

2n	c

时，g（x₂）＞g（x₁），函数g（x）在（0，

2n	c

]上是减函数．
当n是奇数时，g（x）是奇函数，
函数g（x）在（-∞，-

2n	c

]上是增函数，在[-

2n	c

，0）上是减函数．
当n是偶数时，g（x）是偶函数，
函数g（x）在（-∞，-

2n	c

）上是减函数，在[-

2n	c

，0]上是增函数．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题要认真审题，仔细求解．