Question

设常数a＞0，(ax-

1

x

)5展开式中x³的系数为-

5

81

，则a=______，

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=______．

Answer 1

（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

1

x

）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1时，即（-1）c₅¹a⁴=-

5

81

，∴a=

1

3

．故答案为

1

3

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=

a×(1-an)

1-a

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

lim

n→∞

a×(1-an)

1-a

=

a

1-a

（∵a＜1时，

lim

n→∞

aⁿ=0）
=

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案为

1

2

．
方法2：由a=

1

3

，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（

lim

n→∞

sn=

a1

1-q

），
可知

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

a

1-a

═

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案为

1

2

．