Question

设常数a＞0，(ax-

1

x

)5展开式中x³的系数为-

5

81

，则a=

 

，

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

 

．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式通项公式Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

1

x

）^r，整理后，令x的次数等于3，从而解得a，
（2）再求等比数列的前n项和，s_n=

a×(1-an)

1-a

，且

lim

n→∞

aⁿ=0（∵a＜1），从而得解．
方法2：由a=

1

3

＜1，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，利用无穷递降等比数列的各项和公式，可得解．

解答：解：（1）由Tr+1=c₅^r（ax）^5-r（-

1

x

）^r，整理得Tr+1=（-1）^rc₅^ra^5-rx^5-2r，
r=1时，即（-1）c₅¹a⁴=-

5

81

，∴a=

1

3

．故答案为

1

3

（2）方法1：令s_n=a+a²+…+aⁿ=

a×(1-an)

1-a

，
∴

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

lim

n→∞

a×(1-an)

1-a

=

a

1-a

（∵a＜1时，

lim

n→∞

aⁿ=0）
=

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案为

1

2

．
方法2：由a=

1

3

，可知数列a，a²…aⁿ是递降等比数列，
则

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）表示无穷递降等比数列的各项和，
由无穷递降等比数列的各项和公式（

lim

n→∞

sn=

a1

1-q

），
可知

lim

n→∞

（a+a²+…+aⁿ）=

a

1-a

═

1 3

1- 1 3

=

1

2

．
故答案为

1

2

．

点评：本题（1）主要考查二项式展开式特定项的系数的求法，需要熟记展开式的通项公式，即Tr+1=c_n^ra^n-rb^r．是高考的常见题型．
（2）主要考查等比数列求和公式及极限的运算，需要注意：当a的绝对值小于1时，

lim

n→∞

aⁿ=0，方法2：要记住无穷递降等比数列各项和公式

lim

n→∞

s_n=

a1

1-q

．在选择填空中可以加快速度．