Question

如图两个共底面的相同的圆锥，底面圆心为O，顶点分别为S和P，四边形ABCD是圆O的内接矩形，连接SA，SD，PC，PB
（1）证明平面SAD∥平面PBC
（2）圆O的圆周上是否存在点M使平面SOM⊥平面SAD，若存在写出存在的理由，并给予证明，若不存在说明理由．
（3）若SA=2，AB=BC=2，求三棱锥S-PBC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，SB，PD，证明四边形SDPB是菱形，可得PB∥平面SDA，证明BC∥平面SDA，即可证明平面SAD∥平面PBC；
（2）过点O作直线AD的垂线交圆于两个点都可以作为存在点M，即可证明平面SOM⊥平面SAD；
（3）利用V_S-PBC=

1

3

S_△SPB•CO，即可求三棱锥S-PBC的体积．

解答： 证明：（1）连接BD，SB，PD，则
∵四边形ABCD是圆O的内接矩形，
∴BD过圆心O，
∴S，D，P，B四点共面，
∵两个共底面的相同的圆锥，
∴SD=DP=PB-BS，
∴四边形SDPB是菱形，
∴PB∥SD，
∴PB∥平面SDA，
∵BC∥AD，
∴BC∥平面SDA，
∵PB∥平面SDA，BC∥平面SDA，PB∩BC=B，
∴平面SAD∥平面PBC
（2）解：过点O作直线AD的垂线交圆于两个点都可以作为存在点M．
∵SO⊥圆O，
∴AD⊥SO，
∵AD⊥SO，AD⊥OM，OM∩SO=O，
∴AD⊥平面SOM，
∴平面SOM⊥平面SAD；
（3）解：∵AB=BC=2，
∴四边形ABCD是圆O的边长为2的内接正方形，
∴V_S-PBC=

1

3

S_△SPB•CO=

2 2

3

．

点评：本题考查平面与平面平行、垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．