题目内容
3．如果椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的一条弦被点（4，2）平分，则该弦所在的直线方程是（ ）| A． | x-2y=0 | B． | 2x-3y-2=0 | C． | x+2y-8=0 | D． | x-2y-8=0 |
分析 设过A点的直线与椭圆两交点的坐标，分别代入椭圆方程，得到两个关系式，分别记作①和②，①-②后化简得到一个关系式，然后根据A为弦EF的中点，由A的坐标求出E和F两点的横纵坐标之和，表示出直线EF方程的斜率，把化简得到的关系式变形，将E和F两点的横纵坐标之和代入即可求出斜率的值，然后由点A的坐标和求出的斜率写出直线EF的方程即可．
解答 解：设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），
则有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}+\frac{{y}_{1}^{2}}{9}$=1①，$\frac{{x}_{2}^{2}}{36}+\frac{{y}_{2}^{2}}{9}$=1②，
①-②式可得：$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{9}$=0，
又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，
∴$\frac{8}{36}$（x1-x2）-$\frac{4}{9}$（y1-y2）=0
即得kEF=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$
∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），即x+2y-8=0．
故选：C
点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系及中点弦问题的求解策略，关键在于对“设而不求法”的掌握．
练习册系列答案
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| B． | y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数 | |
| C． | y=f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，且在（0，$\frac{π}{4}$）上为增函数 | |
| D． | y=f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，且在（0，$\frac{π}{4}$）上为减函数 |
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