Question

数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若（n∈N^*），T_n为{c_n}的前n项和，求T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，a₁=1适合上式，
∴a_n=2n-1．
由，得，
∴
=3•+2
=2²ⁿ⁺¹
=2^2（n+1）-1，
∵b₁=2满足上式，∴．
（Ⅱ）∵=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，…（8分）
，
两式相减得：
=2+2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=2（2ⁿ⁺¹-1）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴．…（13分）
分析：（Ⅰ）由，利用迭代能得到a_n=2n-1．由，得得，由此能导出．
（Ⅱ）由=（2n+1）•2ⁿ，知T_n=c₁+c₂+…+c_n=3•2+5•2²+…+（2n+1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出T_n．
点评：本题考查数列通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意迭代法和错位相减法的合理运用．