题目内容

已知,用符号表示不超过的最大整数。函数有且仅有3个零点,则的取值范围是__________.

试题分析:因为,所以
分x>0和x<0的情况讨论,显然有a≥0.。
若x>0,此时[x]≥0;
若[x]=0,则=0;
若[x]≥1,因为[x]≤x<[x]+1,故<≤1,即<a≤1。
随着[x]的增大而增大。
若x<0,此时[x]<0;
若-1≤x<0,则≥1;
若x<-1,因为[x]≤x<-1;[x]≤x<[x]+1,故1≤<,即1≤a<
随着[x]的减小而增大。
又因为[x]一定是,不同的x对应不同的a值。
所以为使函数f(x)= -a有且仅有3个零点,只能使[x]=1,2,3;或[x]=-1,-2,-3。
若[x]=1,有<a≤1;
若[x]=2,有<a≤1;
若[x]=3,有<a≤1;
若[x]=4,有<a≤1;
若[x]=-1,有a>1;
若[x]=-2,有1≤a<2;
若[x]=-3,有1≤a<
若[x]=-4,有1≤a<;综上所述,
点评:难题,本题考查知识点较多,难度较大,解答问题的关键是理解“取整函数”的意义,灵活运用所学知识解题。
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