Question

已知向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），记f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）若f（x）=1，求cos（x+

π

3

）的值；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（2A）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式求出f（x）的解析式，然后求值；
（Ⅱ）由正弦定理将边角的混合等式化为角的等式，利用三角函数公式化简求出角A的范围，然后求三角函数值的范围．

解答： 解：（Ⅰ）向量

m

=（

3

sin

x

4

，1），

n

=（cos

x

4

，cos²

x

4

），记f（x）=

m

•

n

=

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
因为f（x）=1，所以sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
所以cos（x+

π

3

）=1-2sin²（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
（Ⅱ）因为（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC
所以2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，sinA≠0，
所以cosB=

1

2

，又0＜B＜

π

2

，所以B=

π

3

，
则A+C=

2π

3

，即A=

2π

3

-C，又0＜C＜

π

2

，
则

π

6

＜A＜

π

2

，得

π

3

＜A+

π

6

＜

2π

3

，
所以

3

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，又f（2A）=sin（A+

π

6

）+

1

2

，
所以f（2A）的取值范围（

3 +1

2

，

3

2

]．

点评：本题考查了向量的数量积运算以及利用正弦定理以及化简三角函数式、解三角形；角的范围的确定是关键．