Question

已知函数f（x）=lnx-（1+a）x-1
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-

lnx

x

-a（x+1）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出函数的导函数以及函数的定义域，（1）当a≤-1时，f′（x）的符号，判断f（x）的单调性．（2）当a＞-1时，由f′（x）的符号以及好的单调性．
（Ⅱ）当a＜1时，要证f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立，转化为只需证lnx-x＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立，构造函数F(x)=lnx-x，g(x)=--

lnx

x

+1-a，求出两个函数的导函数，然后求解两个函数的最值，通过F（x）_max＜g（x）_min，得到a＜1时，对任意的x∈（0，+∞），f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)恒成立．

解答： 解：（Ⅰ）由题知f/(x)=

1

x

-(a+1)=

1-(a+1)x

x

(x＞0)…（1分）
（1）当a≤-1时，f′（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增…（3分）
（2）当a＞-1时，由f′（x）＞0得x∈(0，

1

a+1

)，由f′（x）＜0得x∈(

1

a+1

，+∞)
即f（x）在(0，

1

a+1

)上递增；  在上(

1

a+1

，+∞)上递减…（5分）
综上所述：当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）上递增；
当a＞-1时，f（x）在x∈(0，

1

a+1

)上递增，在x∈(

1

a+1

，+∞)上递减…（6分）
（Ⅱ）当a＜1时，要证f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立
只需证lnx-x＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立
令F(x)=lnx-x，g(x)=--

lnx

x

+1-a，因为F′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

易得F（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，故F（x）≤F（1）=-1…（8分）
由g(x)=-

lnx

x

+1-a得g′(x)=-

1-lnx

x2

=

lnx-1

x

(x＞0)
当0＜x＜e时，g′（x）＜0；     当x＞e时，g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，e）上递减，在（e，+∞）上递增．
所以g(x)≥g(e)=-

1

e

+1-a…（10分）
又a＜1，∴-

1

e

+1-a＞-

1

e

＞-1，即F（x）_max＜g（x）_min
所以lnx-x＜-

lnx

x

-a(x+1)在（0，+∞）上恒成立
故当a＜1时，对任意的x∈（0，+∞），f(x)＜-

lnx

x

-a(x+1)恒成立…（13分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值与函数的恒成立的关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用同时考查了构造法的应用．