题目内容
【题目】如图，四棱台
中， 
底面
，平面
平面
为
的中点.
（1）证明： 
；
（2）若
，且
，求二面角
的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2) 
.
【解析】试题分析：（1）先根据平几知识求
，再根据面面垂直性质定理得
平面
即得
；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角
的正弦值.
试题解析：（1）证明：连接
，
∵
为四棱台，四边形
四边形
，
∴
，由
得， 
，
又∵
底面
，∴四边形
为直角梯形，可求得
，
又
为
的中点，所以
，
又∵平面
平面
，平面
平面
，
∴
平面
平面
，
∴
；
（2）解：
在
中， 
，利用余弦定理可求得， 
或
，由于
，所以
，从而
，知
，
如图，以
为原点建立空间直角坐标系， 
，
由于
平面
，所以平面
的法向量为
，
设平面
的法向量为
， 
， 
，
设
，所以
，
，
∴
，
即二面角
的正弦值为
.
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