Question

【题目】如图，四棱台中， 底面，平面平面为的中点.

（1）证明： ；

（2）若，且，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先根据平几知识求，再根据面面垂直性质定理得平面即得；（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系确定二面角的正弦值.

试题解析：（1）证明：连接，

∵为四棱台，四边形四边形，

∴，由得， ，

又∵底面，∴四边形为直角梯形，可求得，

又为的中点，所以，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面平面，

∴；

（2）解：

在中， ，利用余弦定理可求得， 或，由于，所以，从而，知，

如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，

由于平面，所以平面的法向量为，

设平面的法向量为， ， ，

设，所以，

，

∴，

即二面角的正弦值为.