Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若,求曲线在点处的切线方程;

（Ⅱ）若,求函数的单调区间;

（Ⅲ）若,求证: .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）证明见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅲ） ,等价于,等价于，设,只须证成立，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出的最小值，证明最小值大于零即可得结论.

试题解析：（Ⅰ）若,则,,

所以在点处的切线方程为.

（Ⅱ）

令,则.

令,得 (依题意)

由,得;由,得.

所以, 在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,

因为,所以.

所以,即.

所以函数的单调递增区间为.

（Ⅲ）由,等价于,

等价于.

设,只须证成立.

因为

由,得有异号两根.

令其正根为,则.

在上,在上

则的最小值为

又

所以则

因此即所以.所以.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性、证明不等式，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.