Question

已知函数

（I）若函数在处的切线垂直于轴，求实数a的值；

(II) 在（I）的条件下，求函数的单调区间；

(III) 若恒成立，求实数a的取值范围.

Answer 1

解：（I）定义域为

 

依题意，.

所以，解得                    ……………4分  

（II）时，，定义域为，

            

当或时,，

当时，，

故的单调递增区间为，单调递减区间为.----8分

（III）解法一：由，得在时恒成立，

令，则

令，则

在为增函数， .

故，故在为增函数. ，

所以 ，即实数的取值范围为.          ……………13分    

解法二：

令，则，

_（i）当，即时，恒成立，

在上单调递增，

，即，所以；

(ii)当，即时，恒成立，

在上单调递增，

，即，所以；

(iii)当，即或时，

方程有两个实数根

若，两个根，

当时，，在上单调递增，

则，即，所以；

若，的两个根，

，且在是连续不断的函数

所以总存在，使得，不满足题意.

综上，实数的取值范围为.                        ……………13分