题目内容

设数列{an}满足：a1=1，an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)
（1）求a2，a3；  
（2）令bn=
1+24an
，求数列{bn}的通项公式；
（3）已知f（n）=6an+1-3an，求证：f(1)•f(2)…f(n)＞
1
2
．
（1）∵数列{an}满足：a1=1，an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*)，
∴a2=
1
16
(1+4a1+
1+24a1
)=
5
8
，
a3=
1
16
(1+4a2+
1+24a2
)=
1
16
(1+4×
5
8
+
1+24×
5
8
)=
15
32
．
（2）∵bn=
1+24an
，∴an= 
bn2-1
24
，代入 an+1=
1
16
(1+4an+
1+24an
)(n∈N*) 得
bn+12-1
24
=
1
16
(1+4× 
bn2-1
24
+ bn)，化简可得 4bn+12=(bn+3)2，即 2bn+1=bn+3．
∴2（bn+1-3）=bn-3，∴{bn-3}是以2为首项，以
1
2
为公比的等比数列，
∴bn-3=2(
1
2
)n-1，∴bn=(
1
2
)n-2+3．
（3）证明：∵已知 an=
bn2-1
24
=
(
1
4
)n-2+9 + 6×(
1
2
)n-2-1
24
=
2
3
×(
1
4
)n+(
1
2
)n+
1
3
，
故 f（n）=6an+1-3an =6[
2
3
×(
1
4
)n+1+(
1
2
)n+1+
1
3
]-3（
2
3
×(
1
4
)n+(
1
2
)n+
1
3
）=1-
1
4n
 
=（1-
1
2n
）（1+
1
2n
）．
当n≥2时，有(1+
1
2n-1
)•(1-
1
2n
)=1-
1
2n
+
1
2n-1
-
1
22n-1
=1+
2n-1-1
22n-1
＞1．
∴f（1）•f（2）…•f（n）=（1-
1
2
）（1+
1
2
）•（1-
1
4
）（1+
1
4
）…（1-
1
2n
）（1+
1
2n
）
＞（1-
1
2
）（1+
1
2n
）=
1
2
+
1
2n+1
＞
1
2
．
故要证的不等式 f(1)•f(2)…f(n)＞
1
2
成立．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=0，an+1=can3+1-c，n∈N*，其中c为实数
（1）证明：an∈[0，1]对任意n∈N*成立的充分必要条件是c∈[0，1]；
（2）设0＜c＜
1
3
，证明：an≥1-（3c）n-1，n∈N*；
（3）设0＜c＜
1
3
，证明：
a
2
1
+
a
2
2
+…
a
2
n
＞n+1-
2
1-3c
，n∈N*．
已知f(x)=
1
4x+m
(m＞0)，当x1、x2∈R且x1+x2=1时，总有f(x1)+f(x2)=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）设数列an满足an=f(
0
n
)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n
n
)，求an的通项公式．
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*其中a，c为实数，且c≠0
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn；
（Ⅲ）若0＜an＜1对任意n∈N*成立，求实数c的范围．（理科做，文科不做）
设数列{an}满足：a1=
5
6
，且an=
1
3
an-1+
1
3
（n∈N*，n≥2）
（1）求证：数列{an-
1
2
}为等比数列，并求数列{an}的通项an；
（2）求{an}的前n项和Sn．
设n∈N*，不等式组
x＞0
y＞0
y≤-nx+2n
所表示的平面区域为Dn，把Dn内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）
（1）求（xn，yn）；
（2）设数列{an}满足a1=x1，an=
y
2
n
(
1
y
2
1
+
1
y
2
2
+…+
1
y
2
n-1
)，(n≥2)，求证：n≥2时，
an+1
(n+1
)
2
 
-
an
n
2
 
=
1
n
2
 
；
（3）在（2）的条件下，比较(1+
1
a1
)(1+
1
a2
)…(1+
1
an
)与4的大小．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网