Question

20.

    如图，已知三棱锥O-ABC的侧棱OA、OB、OC两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中点.

    (1)求O点到面ABC的距离；

    (2)求异面直线BE与AC所成的角；

    (3)求二面角E-AB-C的大小.

Answer 1

(1)取BC的中点D，连AD、OD，

∵OB=OC，则OD⊥BC、AD⊥BC，

∴BC⊥面OAD.过O点作OH⊥AD于H，

则OH⊥面ABC，OH的长就是所要求的距离.

BC=2，OD=.

∵OA⊥OB、OA⊥OC，

∴OA⊥面OBC，则OA⊥OD.

AD=，在直角三角形OAD中，有OH=.

(另解：由V=S_△ABC·OH=OA·OB·OC=知：OE=.)

(2)取OA的中点M，连EM、BM，则EM∥AC，∠BEM是异面直线BE与AC所成的角.

求得：EM=，BE=，BM=.

cos∠BEM=

(3)连结CH并延长交AB于F，连结OF、EF.

∵OC⊥面OAB，∴OC⊥AB.又∵OH⊥面ABC，∴CF⊥AB，EF⊥AB，

则∠EFC就是所求二面角的平面角.作EG⊥CF于G，则EG=OH=.

在直角三角形OAB中，OF=，

在直角三角形OEF中，EF=，

sin∠EFG=，∠EFG=arcsin.(或表示为arccos)

方法二：(1)以O为原点，OB、OC、OA分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

则有A（0，0，1）、B（2，0，0）、C（0，2，0）、E（0，1，0）.

设平面ABC的法向量为=(x，y，z)，

则由知：=2x-z=0；

由知：=2y-z=0.取

=（1，1，2），则点O到面ABC的距离为

d=.

(2)=(2，0，0)-(0，1，0)=(2，-1，0)，=(0，2，-1).

cos<，>=，所以异面直线BE与AC所成的角arccos.

(3)设平面EAB的法向量为=(x，y，z)，则由⊥知：· =2x-z=0；

由⊥知：·=2x-y=0.取=（1，2，2）.

由(1)知平面ABC的法向量为=(1，1，2).

cos<，>=，

结合图形可知，二面角E-AB-C的大小为：arccos.