Question

7．对任意正整数n，设a_n是方程x²+$\frac{x}{n}$=1的正根．求证：
（1）a_n+1＞a_n；
（2）$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）解方程可得a_n=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$，再由分子有理化，结合$\frac{1}{2n}$，$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N^*上递减，即可得证；
（2）求出$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$，分析法可得$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$＜$\frac{1}{n-1}$，累加并运用不等式的性质即可得证．

解答 解：（1）a_n是方程x²+$\frac{x}{n}$=1的正根，
解得a_n=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$，
由分子有理化，可得a_n=$\frac{2n}{\sqrt{1+4{n}^{2}}+1}$
=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{4{n}^{2}}}+\frac{1}{2n}}$，
由$\frac{1}{2n}$，$\frac{1}{4{n}^{2}}$在n∈N^*上递减，
可得a_n为递增数列，
即为a_n+1＞a_n；
（2）证明：由a_n=$\frac{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}{2n}$，可得
$\frac{1}{n{a}_{n}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$，
由$\frac{2}{\sqrt{1+4{n}^{2}}-1}$＜$\frac{1}{n-1}$?2n-1＜$\sqrt{1+4{n}^{2}}$
?1+4n²-4n＜1+4n²?-4n＜0，显然成立，
即有$\frac{1}{2{a}_{2}}$+$\frac{1}{3{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{n{a}_{n}}$＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$
＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的单调性的证明，考查不等式的证明，注意运用放缩法，考查推理能力和运算求解能力，属于中档题．