题目内容
如图，已知AB为圆O的直径，BC切圆O于点B，AC交圆O于点P，E为线段BC的中点．求证：OP⊥PE．
考点：与圆有关的比例线段
专题：直线与圆,立体几何
分析：由已知条件推导出∠BPC=90°．∠EBP=∠EPB．∠OBP=∠OPB．由BC切圆O于点B，得∠OBP+∠PBE=90°，从而∠OPB+∠EPB=90°，由此证明OP⊥PE．
解答：
解：因为AB是圆O的直径，所以∠APB=90°，从而∠BPC=90°．
在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE=EC，
从而BE=EP，因此∠EBP=∠EPB．
又因为B、P为圆O上的点，所以OB=OP，从而∠OBP=∠OPB．
因为BC切圆O于点B，所以∠ABC=90°，即∠OBP+∠PBE=90°，
从而∠OPB+∠EPB=90°，于是∠OPE=90°．
所以OP⊥PE．
在△BPC中，因为E是边BC的中点，所以BE=EC，
从而BE=EP，因此∠EBP=∠EPB．
又因为B、P为圆O上的点，所以OB=OP，从而∠OBP=∠OPB．
因为BC切圆O于点B，所以∠ABC=90°，即∠OBP+∠PBE=90°，
从而∠OPB+∠EPB=90°，于是∠OPE=90°．
所以OP⊥PE．
点评：本题考查OP垂直于PE的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意切线性质的灵活运用．
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