Question

椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是

6

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A，B两点，若

OA

•

OB

＞-

4

3

，求k的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．由右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是

6

．可得c=2，a=

6

，再利用b²=a²-c²=2即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=k（x-2）．与椭圆的方程联立可得：（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，利用根与系数的关系即可得出

OA

•

OB

，进而解出．

解答： 解：（I）设椭圆C的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由右焦点F的坐标为（2，0），且点F到短轴的一个端点的距离是

6

．
可得c=2，a=

6

，∴b²=a²-c²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为：y=k（x-2）．
联立

y=k(x-2) x2+3y2=6

，化为（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
则x1+x2=

12k2

1+3k2

，x1x2=

12k2-6

1+3k2

．
y₁y₂=k²（x₁-2）（x₂-2）=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=k²[

12k2-6

1+3k2

-

24k2

1+3k2

+4]=-

2k2

1+3k2

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

12k2-6

1+3k2

-

2k2

1+3k2

=

10k2-6

1+3k2

＞-

4

3

，
解得k2＞

1

3

，
∴k的取值范围是(-∞，-

3

3

)∪(

3

3

，+∞)．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的数量积运算、不等式的解法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．