题目内容
已知椭圆E：
+
=1．
（1）直线l：y=x+m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围．
（2）以椭圆E的焦点F1、F2为焦点，经过直线l′：x+y=9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（1）直线l：y=x+m与椭圆E有两个公共点，求实数m的取值范围．
（2）以椭圆E的焦点F1、F2为焦点，经过直线l′：x+y=9上一点P作椭圆C，当C的长轴最短时，求C的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）直线l与椭圆E有两个公共点的条件是：方程组
有两组不同解，消去y，得3x2+4mx+2m2-8=0，利用判别式大于0，即可求实数m的取值范围．
（2）作点F1（-2，0）关于l′的对称点F1′（9，11）．设P是l′与椭圆的公共点，则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′1|+|PF2|≥|F′1F2|=
，即可求当C的长轴最短时，C的方程．
|
（2）作点F1（-2，0）关于l′的对称点F1′（9，11）．设P是l′与椭圆的公共点，则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′1|+|PF2|≥|F′1F2|=
| 170 |
解答：
解：（1）直线l与椭圆E有两个公共点的条件是：
方程组
有两组不同解，
消去y，得3x2+4mx+2m2-8=0．
∴△=16m2-12（2m2-8）＞0，
-2
＜m＜2
．
∴实数m的取值范围是（-2
，2
）．
（2）依题意，F1（-2，0）、F2（2，0）．
作点F1（-2，0）关于l′的对称点F1′（9，11）．
设P是l′与椭圆的公共点，则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′1|+|PF2|≥|F′1F2|=
．
∴（2a）min=
，
此时，a2=
=
，b2=a2-c2=
．
∴长轴最短的椭圆方程是
+
=1．
方程组
|
消去y，得3x2+4mx+2m2-8=0．
∴△=16m2-12（2m2-8）＞0，
-2
| 3 |
| 3 |
∴实数m的取值范围是（-2
| 3 |
| 3 |
（2）依题意，F1（-2，0）、F2（2，0）．
作点F1（-2，0）关于l′的对称点F1′（9，11）．
设P是l′与椭圆的公共点，则2a=|PF1|+|PF2|=|PF′1|+|PF2|≥|F′1F2|=
| 170 |
∴（2a）min=
| 170 |
此时，a2=
| 170 |
| 4 |
| 85 |
| 2 |
| 77 |
| 2 |
∴长轴最短的椭圆方程是
| x2 | ||
|
| y2 | ||
|
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-1，2），则
=（ ）
| b+c |
| a |
| A、-3 | B、-4 | C、1 | D、2 |
如图所示，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，该几何体的侧视图（左视图）的面积为