题目内容

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值．

解：设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =-3 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∵A、P、M和B、P、N分别共线，
∴存在实数λ、μ使
$\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ =-λ $\text{[math]}$ -3λ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =μ $\text{[math]}$ =2μ $\text{[math]}$ +μ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（λ+2μ） $\text{[math]}$ +（3λ+μ） $\text{[math]}$ ．
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，即AP：PM=4：1．
分析：根据题意把 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，作为该平面的一组基底，根据向量运算的三角形法则及共线向量定理分别表示出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，即可求得AP：PM的值．
点评：此题是个中档题．考查向量加法的三角形法则和共线向量定理以及平面向量基本定理，要用已知向量表示未知向量，把向量放在封闭图形中求解，体现了转化的思想和数形结合的思想方法．