题目内容

已知{a_n}是各项都为正数的数列，S_n为其前n项的和，且a₁=1，S_n= $数学公式$ ．
（I）分别求S₂²，S₃²的值；
（II）求数列{a_n}的通项a_n；
（III）求证： $数学公式$ $数学公式$ ．

解：（I）令n=2，得1+a₁= $\text{[math]}$ （a₂+ $\text{[math]}$ ）?a₂= $\text{[math]}$ -1（舍去负的），
∴s₂= $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ =2．
同理，令n=3可得 $\text{[math]}$ =3．
（II）∵S_n= $\text{[math]}$ ．
∴s_n-1=s_n-a_n= $\text{[math]}$ （a_n- $\text{[math]}$ ），（n≥2）．
∴ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （a_n+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ （a_n- $\text{[math]}$ ）²=1．
∴{ $\text{[math]}$ }是首项为1，公差为1的等差数列
∴ $\text{[math]}$ =n，
∴a_n=s_n-s_n-1= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，（n≥2）．
∴a_n= $\text{[math]}$ ．
（Ⅲ）令b_n=2（1- $\text{[math]}$ ）=2（1- $\text{[math]}$ ），
c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
∴b_n-b_n-1=2（1- $\text{[math]}$ ）-2（1- $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
＞ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =c_n．
∴b_n-b_n-1＞c_n；
∴b_n-1-b_n-2＞c_n-1，…b₂-b₁＞c₂．
相加得：b_n-b₁＞c_n+c_n-1+…+c₂；
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+b₁；
又∵b₁=2（1- $\text{[math]}$ ）=2- $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ =c₁．
∴b_n＞c_n+c_n-1+…+c₂+c₁；
即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 成立．
分析：（I）先把n=2代入S_n= $\text{[math]}$ ；求出a₂进而求出求S₂²的值；同理求出S₃²的值即可．
（II）先根据S_n= $\text{[math]}$ 得到s_n-1=s_n-a_n= $\text{[math]}$ （a_n- $\text{[math]}$ ），进而得到{ $\text{[math]}$ }是首项为1，公差为1的等差数列；得到{ $\text{[math]}$ }的通项，进而求出数列{a_n}的通项；
（III）先令b_n=2（1- $\text{[math]}$ ）=2（1- $\text{[math]}$ ），c_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．再利用放缩法得到b_n-b_n-1＞c_n；最后求和整理即可得到结论．
点评：本题主要考察数列与不等式的综合问题．解决本题的关键在于根据S_n= $\text{[math]}$ 得到s_n-1=s_n-a_n= $\text{[math]}$ （a_n- $\text{[math]}$ ），进而得到{ $\text{[math]}$ }是首项为1，公差为1的等差数列；得到{ $\text{[math]}$ }的通项．，题后注意体会本题证明不等式的技巧及证明时构造的技巧