Question

已知{a_n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S_n，且满足2a_nS_n-a_n²=1．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令T_n=

1

S 2 1

+

1

2 S 2 2

+…+

1

nS 2 n

，求证T_n≤

2n-1

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令n=1，导出a₁=1．令n=2，导出a2=

2

-1．令n=3可解得a3=

3

-

2

．
（Ⅱ）由2s_na_n-a_n=1，a_n=s_n-s_n-1，知s_n²-s_n-1²=1，所以s₂ⁿ=1+n-1=n，an=sn-sn-1=

n

-

n-1

．
（Ⅲ）Tn=1+

1

22

+

1

32

+

1

n2

≤1+

1

1× 1 2

+

1

2×3

+

1

(n-1)n

=1+1-1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

n-1

-

1

n

）=2-

1

n

=

2n-1

n

．

解答：解：（Ⅰ）令n=1则有2a₂¹-a₂¹=1，?a₁=1（a₁=-1舍去）．
令n=2，得2（a₁+a₂）a₂-a₂²=1，即a₂²+2a₂-1=0．
∴a2=

2

-1（舍去负值）．
同理，令n=3可解得a3=

3

-

2

．（3分）
（Ⅱ）∵2s_na_n-a_n=1，①
又n≥2时有a_n=s_n-s_n-1，代入①式并整理得s_n²-s_n-1²=1．
∴s_n²是首项为1，公差为1的等差数列．（6分）
∴s_n²=1+n-1=n，∴an=sn-sn-1=

n

-

n-1

（n≥2），又a₁=1
∴an=

n

-

n-1

．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知Tn=1+

1

22

+

1

32

+

1

n2

≤1+

1

1× 1 2

+

1

2×3

+

1

(n-1)n

=1+1-1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

n-1

-

1

n

）=2-

1

n

=

2n-1

n

即Tn≤

2n-1

n

．（12分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．