Question

【题目】如图，直四棱柱 的所有棱长均为2， 为 中点.

（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】解：(Ⅰ)连结 交 于 ，取 中点 ，连结 .
因为 ，所以 是平行四边形，故 .
又 是 的中位线，故 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形.
所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .

(Ⅱ)以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示，
则 ， ， ， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，
解得 ，
令 ，得 ，
显然平面 的一个法向量 ，
所以 ，
所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为45°
【解析】（Ⅰ）根据题目中所给的条件的特点，连结AC交BD于O，取BD1 的中点F，由已知可得ACC1A1是平行四边形，故A1C1∥AC．再由三角形中位线定理可得四边形OCEF为平行四边形．得到A1C1∥EF，由线面平行的判定可得结论；
（Ⅱ）建立适当的空间直角坐标系O-xyz，由已知求得点的坐标，求出平面BED1的法向量与平面ABCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面BED1与平面ABCD所成锐二面角的大小．