Question

设△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a，b，c，且2bcosA=ccosA+acosC
（1）求角A的大小：
（2）若角B=，角A的平分线交方BC于M，且AM的长为，求AB的长和△ABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）将已知等式右边提取，利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式变形，然后利用正弦定理化简，根据b不为0，左右两边同时除以b，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）根据题意画出相应的图形，由AM为角平分线，利用角平分线定义求出∠CAM的度数，由∠BMA为三角形ACM的外角，利用外角的性质求出∠BMA的度数，再由∠B的度数，及AM的长，利用正弦定理求出AB的长，由三角形ABC为等腰三角形，利用三线合一得到D为AB的中点，在直角三角形ACD中，利用锐角三角函数定义求出h的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
解答：解：（1）∵2bcosA=ccosA+acosC=（acosC+ccosA）=2R（sinAcosC+sinCcosA）=2Rsin（A+C）=2RsinB=b，
∴cosA=，又A为三角形的内角，
∴A=；
（2）在等腰三角形ABM中，B=，AM=，
∵AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠BAM=，
∴∠BMA=+=，
由正弦定理=，得AB==，
∴AB边上的高为h=tan=，
则S_△ABC=•AB•h=．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，等腰三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．