Question

19．已知圆O：x²+y²=4和点$M（{1，\sqrt{2}}）$，AB为过点M的弦．
（Ⅰ）若$|AB|=2\sqrt{3}$，求直线AB的方程；
（Ⅱ）求弦AB的中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论直线的斜率不存在与斜率存在时，分别求出满足条件的直线AB的方程；
（Ⅱ）设出AB的中点坐标，利用OP⊥PM时${\;}^{\;}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{MP}=0$，列出方程化简即可．

解答 解：（Ⅰ）圆O：x²+y²=4，圆心为O（0，0），半径为2，
当直线的斜率不存在时，直线AB的方程为x=1，此时满足|AB|=2$\sqrt{3}$；
当直线的斜率存在时，设直线AB为：$y=kx+\sqrt{2}-k$，
由题意得：$\frac{{|\sqrt{2}-k|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，
解得$k=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$；（6分）
所以直线AB的方程为x=1或y=$\frac{\sqrt{2}}{4}$x+$\frac{3\sqrt{2}}{4}$；（8分）
（Ⅱ）设AB的中点为P（x，y），则OP⊥PM，（10分）
∴${\;}^{\;}\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{MP}=0$，
即${\;}^{\;}（x，y）•（x-1，y-\sqrt{2}）=0$，
∴x（x-1）+y（y-$\sqrt{2}$）=0，
化简得${x^2}+{y^2}-x-\sqrt{2}y=0$．（14分）

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了求点的轨迹方程的应用问题，是综合性题目．