题目内容
9．
正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在对角线BD1上，给出以下命题：①当P在BD1上运动时，恒有MN∥面APC；
②若A，P，M三点共线，则$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，则C1Q∥面APC；
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有n条，则m+n=7．
其中正确命题的个数为（ ）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
分析 ①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，即可判断出正误；
②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，由平行线的性质可得，$\frac{{D}_{1}P}{BP}$=$\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，即可判断出正误；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q∥OM，即可判断出正误．
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条，即可判断出正误．
解答 解：①MN中点R，AC的中点S，设BD1与RS的交点是Q，若P与Q重合时，此时MN在平面PAC内，故1错误
②若A，P，M三点共线，②若A，P，M三点共线，由D1M∥AB，
∴$\frac{{D}_{1}P}{BP}$=$\frac{{D}_{1}M}{AB}$=$\frac{1}{2}$，则$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，正确；
③若$\frac{BP}{B{D}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，
∴C1Q∥OM，
而M点在平面APC内，
∴C1Q∥平面APC，因此正确；
④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有A1C，D1B，AC1，DB1，4条．
连接B1C，A1C1∥AC，由正方体的性质可得△AB1C是等边三角形，则点P取点D1，则直线AD1，CD1、D1B1满足条件，∴过点P且与直线AB1和A1C1所成的角都为60°的直线有且只有3条，则m+n=7条，因此正确．
其中正确命题为②③④，其个数为3．
故选：C．
点评 本题考查了正方体的性质、平行线分线段成比例定理、线面平行的判定与性质定理、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．
阅读快车系列答案| A． | $（{0，\frac{1}{e}}]$ | B． | $（{0，\frac{3}{4}}]$ | C． | $[{\frac{1}{e}，1}）$ | D． | $[{\frac{1}{e}，\frac{3}{4}}]$ |