Question

4．已知a，b均为大于1的自然数，若圆心在原点的单位圆O上存在点（x₀，y₀），使得b+x₀=a（b+y₀）成立．则a+b=4．

Answer 1

分析 由题意设x₀=cosθ，y₀=sinθ，则b+cosθ=a（b+sinθ），即asinθ-cosθ=b-ab，把等式左边利用辅助角公式化积，可得-$\sqrt{{a}^{2}+1}$≤b（1-a）≤$\sqrt{{a}^{2}+1}$，结合a，b均为大于1的自然数，得到b≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{（a-1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2a}{（a-1）^{2}}}$．由a≥4时，b＜2，可得a＜4．然后分a=2和a=3分类分析得答案．

解答 解：由题意设x₀=cosθ，y₀=sinθ，则
b+cosθ=a（b+sinθ），即asinθ-cosθ=b-ab，
∴$\sqrt{{a}^{2}+1}$•sin（θ-α）=b（1-a）（sinα=$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$），
∵-1≤sin（θ-α）≤1，
∴-$\sqrt{{a}^{2}+1}$≤b（1-a）≤$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
∵a，b均为大于1的自然数，
∴1-a＜0，b（1-a）＜0，
∴b（1-a）≥-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，即b（a-1）≤$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
则b≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{（a-1）^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2a}{（a-1）^{2}}}$．
∵a≥4时，$\frac{2a}{（a-1）^{2}}＜1$，b＜2，
∴a＜4．
当a=2时 b≤$\sqrt{5}$，∴b=2；
当a=3时  b≤$\sqrt{\frac{5}{2}}$无解．
综上：a=2，b=2，即a+b=4．
故答案为：4．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了圆的参数方程的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．