Question

12．给出下列命题：
①点P是△ABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC于点O，若PA=PB=PC，则O是△ABC的外心；
②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行；
③三个平面两两相交，则三条交线一定交于一点；
④三个平面最多将空间分成8部分；
⑤正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AC与BC₁所成角为60°．
其中正确的命题有①④⑤．（填序号）

Answer 1

分析 在①中，由射影定理得OA=OB=OC，从而O是△ABC的外心；在②中，这两条直线平行、相交或异面；在③中，三条交线交于一点或三条交线重合；在④中，一切豆腐切三刀，最多切8块；在⑤中，由△A₁C₁B是等边三角形，得直线AC与BC₁所成角为60°．

解答 解：①点P是△ABC所在平面外一点，
∵PO⊥平面ABC于点O，PA=PB=PC，
∴OA=OB=OC，∴O是△ABC的外心，故①正确；
②两条直线和一个平面成等角，则这两条直线平行、相交或异面，故②错误；
③三个平面两两相交，则三条交线交于一点或三条交线重合，故③错误；
④一切豆腐切三刀，最多切8块，∴三个平面最多将空间分成8部分，故④正确；
⑤正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线AC与BC₁所成角为∠A₁C₁B，
∵△A₁C₁B是等边三角形，∴∠A₁C₁B=60°．
∴直线AC与BC₁所成角为60°，故⑤正确．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．