Question

已知函数f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（-x）-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二倍角三角函数公式和辅助角公式化简，得到f（x）=．再由三角函数的周期公式和单调区间公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（II）求出当x∈时，∈[]，结合正弦函数的图象与性质，即可得到函数f（x）在上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，得
f（x）=2sin（π-x）cosx+2sin²（-x）-1
=2sinxcosx+2cos²x-1=sin2x+cos2x，
∴f（x）=sin2x+cos2x=．…..（3分）
可得f（x）的最小正周期…..（5分）
又∵由，解得
∴函数f（x）的单调递增区间：…..（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．
由，得．…..（8分）
∴当，即时，函数f（x）有最大值是1；…..（10分）
当，即时，函数f（x）有最小值是．…..（11分）
综上所述，函数f（x）在区间上的最大值是1，最小值是．…..（12分）
点评：本题给出三角函数表达式，求函数的周期与单调区间，并求闭区间上的最值．着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．