题目内容

设A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是空间中给定的5个不同的点，则使 $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$ 成立的点M的个数为________个．

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分析：分别设出A₁、A₂、A₃、A₄、A₅和M各点的坐标，得到向量 $\text{[math]}$ （k=1，2，3，4，5）的坐标，根据加法的坐标运算代入题中的向量等式，化简整理可得M坐标关于A₁、A₂、A₃、A₄、A₅坐标的式子，从而得到存在唯一的点M，使 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 成立．
解答：设A₁（x₁，y₁，z₁），A₂（x₂，y₂，z₂），A₃（x₃，y₃，z₃），A₄（x₄，y₄，z₄），A₅（x₅，y₅，z₅）
再设M（a，b，c），则可得
$\text{[math]}$ =（x₁-a，y₁-b，z₁-c）， $\text{[math]}$ =（x₂-a，y₂-b，z₂-c）， $\text{[math]}$ =（x₃-a，y₃-b，z₃-c），
$\text{[math]}$ =（x₄-a，y₄-b，z₄-c）， $\text{[math]}$ =（x₅-a，y₅-b，z₅-c），
∵ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 成立
∴ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$
因此，存在唯一的点M，使 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 成立
故答案为：1
点评：本题给出空间5个点，探索这5个点与点M构成的向量和为零向量的点的个数．着重考查了向量的线性运算及其几何意义的知识，属于基础题．