Question

9．设函数f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，x＞0时f（x）=x-$\frac{1}{x}$，求x＜0时f（x）的表达式，判断f（x）在（-∞，0）上的单调性，并用定义给出证明．

Answer 1

分析 由已知得x＜0时，f（x）=（-x）-$\frac{1}{-x}$=-x+$\frac{1}{x}$，f（x）在（-∞，0）上的单调递减，利用定义法能进行证明．

解答 解：∵函数f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，
x＞0时f（x）=x-$\frac{1}{x}$，
∴x＜0时，f（x）=（-x）-$\frac{1}{-x}$=-x+$\frac{1}{x}$，
f（x）在（-∞，0）上的单调递减，证明如下：
在（-∞，0）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=（-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（-x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₂-x₁）+$\frac{{x}_{2}-{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵x₁，x₂∈（-∞，0），x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上的单调递减．

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的单调性的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．