题目内容
已知椭圆
：
，设该椭圆上的点到左焦点
的最大距离为
，到右顶点
的最大距离为
.
(Ⅰ) 若
，
，求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设该椭圆上的点到上顶点
的最大距离为
，求证：
.
【答案】
（Ⅰ）解：
，
∴椭圆
的方程为
；…………………………………………………………5分
（Ⅱ）证明：椭圆上任意一点
，则点
到上顶点
的距离为
，
，
构造二次函数
，
其对称轴方程为
．
当
，即
时，
，
此时
，
而
，从而
；
当
，即
时，
，
此时
；
综上所述椭圆上任意一点到上顶点的距离都小于等于
，所以椭圆上的点到上顶点的最大距离
．…………………………………………………………………………15分
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：
，设该椭圆上的点到左焦点
的最大距离为
，到右顶点
的最大距离为
.
，
，求椭圆
的最大距离为
，求证：
.
，
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
为顶点的三角形的周长为
.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设
为该双曲线上异于顶点的任一点，直线
和
与椭圆的交点分别为
和
.
、
，证明
；
，使得
