Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，设该椭圆上的点到左焦点F（-c，0）的最大距离为d₁，到右顶点A（a，0）的最大距离为d₂．
（Ⅰ） 若d₁=3，d₂=4，求椭圆E的方程；
（Ⅱ） 设该椭圆上的点到上顶点B（0，b）的最大距离为d₃，求证：d3≤

a2

c

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设，知

a+c=3 2a=4

⇒

a=2 c=1

，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）椭圆上任意一点P（acosθ，bsinθ），则点P到上顶点B（0，b）的距离为|PB|，|PB|=

(acosθ)2+(bsinθ-b)2

=

(b2-a2)sin2θ-2b2sinθ+a2+b2

，先构造二次函数f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），再由分类讨论思想能求出椭圆上的点到上顶点的最大距离．

解答：（Ⅰ）解：由题，知

a+c=3 2a=4

⇒

a=2 c=1

，
∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；…（5分）
（Ⅱ）证明：椭圆上任意一点P（acosθ，bsinθ），
则点P到上顶点B（0，b）的距离为|PB|，|PB|=

(acosθ)2+(bsinθ-b)2

=

(b2-a2)sin2θ-2b2sinθ+a2+b2

，
构造二次函数f（t）=-c²t²-2b²t+a²+b²（-1≤t≤1），
其对称轴方程为t=-

b2

c2

＜0．
1°当-

b2

c2

＜-1，
即b²＞c²时，f（t）≤f（-1）=4b²，
此时|PB|=

f(sinθ)

≤

4b2

=2b，
而2b=

2bc

c

≤

b2+c2

c

=

a2

c

，从而|PB|≤

a2

c

；
2°当-

b2

c2

≥-1，即b²≤c²时，
f(t)≤f(-

b2

c2

)=

4(-c2)(a2+b2)-4b4

4(-c2)

=

a4

c2

，
此时|PB|=

f(sinθ)

≤

a4 c2

=

a2

c

；
综上所述椭圆上任意一点到上顶点的距离都小于等于

a2

c

，
所以椭圆上的点到上顶点的最大距离d3≤

a2

c

．…（15分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思维的要求较高．解题时要熟练掌握椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系的综合运用，注意构造法的合理运用．