Question

.(本题满分16分，其中第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分，)

如图，已知椭圆，，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；

(2)设直线、的斜率分别为、，证明；

(3)是否存在常数，使得

恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解(1)由题意知，椭圆中，，得，

又，所以可解得，，所以，

所以椭圆的标准方程为；分

所以椭圆的焦点坐标为(，0)，因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为．分

(2)设，则分

因为点在双曲线上，所以分

因此   即分

(3)由于的方程为，将其代入椭圆方程得

由韦达定理得

∴分

    同理可得

    则，又

    ∴,

故

    即存在， 使恒成立．分

 

【解析】略