Question

如图，已知椭圆＝1(a＞b＞0)的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F₁、F₂为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂，证明：k₁·k₂＝1；
(3)是否存在常数λ，使得|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)＝1.＝1.(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，
则k₁＝，k₂＝.因为点P在双曲线x²－y²＝4上，所以x－y＝4.
因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.
(3)存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．

试题分析：(1)设椭圆的半焦距为c，由题意知：，
2a＋2c＝4(＋1)，所以a＝2，c＝2.
又a²＝b²＋c²，因此b＝2.故椭圆的标准方程为＝1.
由题意设等轴双曲线的标准方程为＝1(m＞0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以m＝2，因此双曲线的标准方程为＝1.
(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，P(x₀，y₀)，则k₁＝，k₂＝.
因为点P在双曲线x²－y²＝4上，所以x－y＝4.
因此k₁·k₂＝·＝＝1，即k₁·k₂＝1.
(3)由于PF₁的方程为y＝k₁(x＋2)，将其代入椭圆方程得(2k＋1)x²－8kx＋8k－8＝0，
显然2k＋1≠0，显然Δ＞0.由韦达定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
所以|AB|＝
＝.
同理可得|CD|＝.
则，
又k₁·k₂＝1，
所以.
故|AB|＋|CD|＝|AB|·|CD|.
因此存在λ＝，使|AB|＋|CD|＝λ|AB|·|CD|恒成立．
点评：对于直线与圆锥曲线的综合问题，往往要联立方程，同时结合一元二次方程根与系数的关系进行求解；而对于最值问题，则可将该表达式用直线斜率k表示，然后根据题意将其进行化简结合表达式的形式选取最值的计算方式