Question

已知双曲线实轴在轴，且实轴长为2，离心率,  L是过定点的直线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）判断L能否与双曲线交于,两点，且线段恰好以点为中点，若存在，求出直线L的方程，若不存，说明理由.

Answer 1

（1）（2）不存在过点P的直线L与双曲线有两交点A、B，且线段AB以点P为中点

试题分析：（1）∵2a="2" ，∴a=1，又,∴c=，
∴，
∴标准方程为：.
（2）①：若过点P的直线斜率不存在，则L的方程为：，
此时L与双曲线只有一个交点，不满足题意.
②: 若过点P的直线斜率存在且设为,则L的方程可设为：，
设,AB的中点,
由得，  ①
显然，要有两个不同的交点，则.所以,
要以P为中点，则有，解得,
当时，方程①为：,该方程无实数根，即L不会与双曲线有交点，
所以，不存在过点P的直线L与双曲线有两交点A、B，且线段AB以点P为中点.
点评：每年高考都会考查圆锥曲线问题，此类题目一般运算量较大，主要考查学生的运算求解能力和分析问题、解决问题的能力.