Question

定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．

（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；

（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；

（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．

① 证明：当（）时，成立；

② 请再选一个与①不同的且大于1的整数，

证明：也成立．

Answer 1

解：（1）设，是上的任意两个数，则

．函数在上是 “凸函数”．

（2）对于上的任意两个数，，均有成立，即，整理得

若，可以取任意值．

若，得，，．

综上所述得．

（3）①当时由已知得成立．

假设当时，不等式成立即

成立．

那么，由，

得

．

即时，不等式也成立．根据数学归纳法原理不等式得证．

②比如证明不等式成立．由①知，，，，

有成立．

，，，，

，

从而得．