Question

函数f(x)=

1

3

ax3+

1

2

ax2-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是（　　）

• A、a＞-

  3

  16

• B、-

  6

  5

  ＜a＜-

  3

  16

• C、a＞-

  6

  5

• D、-

  6

  5

  ≤a≤-

  3

  16

Answer 1

分析：求函数的极值，要使图象经过四个象限只要两极值符号不同

解答：解：f′（x）=ax²+ax-2a=a（x+2）（x-1）
令f′（x）=a（x+2）（x-1）=0得x=-2或x=1
x∈（-∞，-2）时f′（x）的符号与x∈（-2，1）时f′（x）的符号相反，x∈（-2，1）时f′（x）的符号与x∈（1，+∞）时f′（x）的符号相反
∴f（-2）=-

8

3

a+2a+4a+2a+1=

16

3

a+1和为极值，f（1）=

1

3

a+

1

2

a-2a+2a+1=

5

6

a+1
∵图象经过四个象限
∴f（-2）•f（1）＜0即（

16

3

a+1）（

5

6

a+1）＜0
解得-

6

5

＜a＜-

3

16

故答案为B

点评：本题考查导数求函数的极值，眼睛函数的单调性及其图象