Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a＞0）在x=x₁和x=x₂处取得极值．
（Ⅰ）若c=-a²，且|x₁-x₂|=2，求b的最大值；
（Ⅱ）设g（x）=f′（x）+x，若0＜x₁＜x₂＜

1

3a

，且x∈（0，x₁），证明：x＜g（x）＜x₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意可得f′（x）=3ax²+2bx-a²，x₁、x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，利用韦达定理将|x₁-x₂|=2，整理为：
得b²=3a²（3-a），设h（a）=-3a³+9a²，则h′（a）=-9a²+18a；由h′（a）＞0与h′（a）＜0，可求得h（a）在（0，3]上的极大值，从而得到b的最大值；
（Ⅱ）一方面，由x₁、x₂是方程f′（x）=0的两根，g（x）=f′（x）+x⇒f′（x）=g（x）-x=3a（x-x₁）（x-x₂）＞0⇒g（x）＞x；另一方面，0＜x＜x1＜x2＜

1

3a

，x₁-g（x）=x₁-[x+f′（x）]=x₁-x-3a（x-x₁）（x-x₂）=（x₁-x）[1+3a（x-x₂）]＞0，于是得证．

解答：解：（Ⅰ）∵c=-a²，∴f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁、x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，a＞0，
∴x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=-

a

3

；
∵|x₁-x₂|=2，
∴(x1+x2) 2-4x₁x₂=4，即(-

2b

3a

)2-4（-

a

3

）=4，整理得b²=3a²（3-a），
∵b²≥0，
∴0＜a≤3；
设h（a）=-3a³+9a²，则h′（a）=-9a²+18a；
由h′（a）＞0，得0＜a＜2；由h′（a）＜0，得a＞2．
∴h（a）=-3a³+9a²在区间（0，2）上是增函数，在区间（2，3）上是减函数，
∴当a=2时，h（a）有极大值12，
∴h（a）在（0，3]上的最大值是12，从而b的最大值是2

3

…3分
（Ⅱ）由g（x）=f′（x）+x，得f′（x）=g（x）-x，
∵x₁、x₂是方程f′（x）=0的两根，
∴f′（x）=g（x）-x=3a（x-x₁）（x-x₂），
当x∈（0，x₁）时，由于x₁＜x₂，故（x-x₁）（x-x₂）＞0，
又a＞0，故g（x）-x=3a（x-x₁）（x-x₂）＞0，即g（x）＞x；…7分
又x₁-g（x）=x₁-[x+f′（x）]=x₁-x-3a（x-x₁）（x-x₂）=（x₁-x）[1+3a（x-x₂）]，
∵0＜x＜x1＜x2＜

1

3a

，
∴x₁-x＞0，[1+3a（x-x₂）]=1+3ax-3ax₂＞1-3ax₂＞0，
∴g（x）＜x₁；…10分
综上所述：x＜g（x）＜x₁．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值，难点在于（Ⅱ）的证明，须用作差发分两步分别证明g（x）＞x与g（x）＜x₁，考查综合分析与解决问题的能力，属于难题．