Question

若函数f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

，(x≥1)能用均值定理求最大值，则需要补充a的取值范围是

a≥

1

3

．

Answer 1

分析：可将f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

，(x≥1)转化为：f(x)=

1

x+ 3a x +2(a+2)

(x≥1)，即求g(x)=x+

3a

x

(x≥1)的最小值时满足的条件．

解答：解：∵f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

=

1

x+ 3a x +2(a+2)

(x≥1)，∴若函数f(x)=

x

x2+2(a+2)x+3a

，(x≥1)能用均值定理求最大值时a满足的条件即为g(x)=x+

3a

x

(x≥1)应用均值定理取得最小值时满足的条件所求．
显然a＞0，由x+

3a

x

≥2

3a

，当且仅当x=

3a

x

，即x=

3a

时取“=”；∵x≥1∴

3a

≥1，∴a≥

1

3

．
故答案为：a≥

1

3

．

点评：本题考查基本不等式，考查学生的分析与转化能力，属于中档题．