题目内容
已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（-2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．
2
| ||
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．
（Ⅰ）设椭圆方程为
+
=1(a＞b＞0)．
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±
．
所以
，又a2=b2+c2，解得
．
∴椭圆的标准方程为
+
=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程
，得（m2+3）y2-6my+3=0，
y1+y2=
，y1y2=
，
由题意可知AF1⊥BF1，即kAF1•kBF1=-1，
∴
•
=
=
=-1
整理得：（m2+1）y1y2-m（y1+y2）+1=0．
∴
-
+1=0，解得m=±
．
代入△=36m2-12（m2+3）=24×3-36=36＞0．
所以直线l的方程为x+
y+3=0或x-
y+3=0．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±
| b2 |
| a |
所以
|
|
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 6 |
| y2 |
| 2 |
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x1，y1），B（x2，y2）
联立直线与椭圆的方程
|
y1+y2=
| 6m |
| m2+3 |
| 3 |
| m2+3 |
由题意可知AF1⊥BF1，即kAF1•kBF1=-1，
∴
| y1 |
| x1+2 |
| y2 |
| x2+2 |
| y1y2 |
| (my1-1)(my2-1) |
| y1y2 |
| m2y1y2-m(y1+y2)+1 |
整理得：（m2+1）y1y2-m（y1+y2）+1=0．
∴
| 3(m2+1) |
| m2+3 |
| 6m2 |
| m2+3 |
| 3 |
代入△=36m2-12（m2+3）=24×3-36=36＞0．
所以直线l的方程为x+
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