Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≤1}\\{f（x-1），x＞1}\end{array}\right.$若方程f（x）-kx=1有两个不同实根，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{e-1}{3}$，e）
• B． （$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]
• C． （$\frac{e-1}{3}$，1）∪（1，e）
• D． （$\frac{e-1}{2}$，e-1]

Answer 1

分析 方程f（x）-kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．

解答 解：方程f（x）-kx=1有两个不同实根可化为
函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，
当x＞1时，f（x）=f（x-1），周期性变化；
函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；
作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，

C（0，1），B（2，e），A（1，e）；
故k_AC=e-1，k_BC=$\frac{e-1}{2}$；
在点C处的切线的斜率k=e⁰=1；
结合图象可得，
实数k的取值范围为
（$\frac{e-1}{2}$，1）∪（1，e-1]；
故选B．

点评 本题考查了方程的根与函数的图象之间的关系应用及学生的作图能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．