Question

1．设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2bsinA．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosC的取值范围．

Answer 1

分析 （I）由a=2bsinA，利用正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，化简解出即可；
（II）cosA+cosC=$2cos\frac{A+C}{2}cos\frac{A-C}{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$cos$（\frac{5π}{12}-C）$，利用$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，可得$cos（\frac{5π}{12}-C）$∈$（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}，1]$，即可得出．

解答 解：（I）∵a=2bsinA，由正弦定理可得：sinA=2sinBsinA，
∵sinA≠0，∴sinB=$\frac{1}{2}$，∴锐角B=$\frac{π}{6}$．
（II）cosA+cosC=$2cos\frac{A+C}{2}cos\frac{A-C}{2}$
=$2cos\frac{5π}{12}$cos$（\frac{5π}{12}-C）$
=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$cos$（\frac{5π}{12}-C）$，
∵$\frac{π}{3}＜C＜\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{12}＜\frac{5π}{12}-C＜\frac{π}{12}$，
∴$cos（\frac{5π}{12}-C）$∈$（\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}，1]$，
∴cosA+cosC∈$（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}]$．

点评 本题考查了正弦定理、和差化积、余弦函数的单调性、锐角三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．