Question

【题目】如图，已知椭圆上顶点为A，右焦点为F，直线与圆相切，其中.

（1）求椭圆的方程；

（2）不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，证明：动直线l过定点，并且求出该定点坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）确定圆M的圆心与半径，利用直线AF与圆M相切关系，根据点到直线的距离公式构建方程，求得a，即可表示方程；

（2）设直线AP的方程为，则直线AQ的方程为，分别于椭圆联立方程求得交点P、Q的坐标，即可表示直线l的方程，得答案.

（1）由题可知，，则直线的方程为，即

因为直线与圆相切，该圆的圆心为

则

故椭圆的标准方程为

（2）因为不过点A的动直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，即直线AP与坐标轴不垂直也不平行

由可设直线AP的方程为，则直线AQ的方程为

联立，消去y并整理得，解得或，

因此点P的坐标为，即

将上式中的k换成，得点Q

所以直线l的斜率为，

即直线l的方程为，

化简并整理得，

故直线l恒过定点