Question

已知

a

=（

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，cosx）函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的最小正周期和对称轴方程．

Answer 1

分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得sin（2x+

π

6

），即为函数f（x）的解析式；
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期公式，可得函数的最小正周期T=π．再由正弦函数图象对称轴方程的公式，解关于x的等式，即可得到函数f（x）图象的对称轴方程．

解答：解：（1）∵

a

=（

3

cosx，cosx），

b

=（sinx，cosx）
∴函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx+cos²x-

1

2

=

3

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=sin（2x+

π

6

）．
所以函数f（x）的解析式为：y=sin（2x+

π

6

）；
（2）根据三角函数周期公式，得f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z），可得x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z），
∴f（x）图象的对称轴方程为x=

π

6

+

1

2

kπ（k∈Z）．

点评：本题给出三角函数式，求函数图象的对称轴方程和周期，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．