Question

已知

a

=(sinα，sinβ)，

b

=(cos(α-β)，-1)，

c

=(cos(α+β)，2)，α，β≠kπ+

π

2

(k∈Z)．
（1）若

b

∥

c

，求tanα•tanβ的值；
（2）求

a

2+

b

•

c

的值．

Answer 1

分析：（1）由

b

∥

c

，以及两向量的坐标，利用平面向量平行时坐标满足的关系列出关系式，利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后根据α，β的取值，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可求出tanα•tanβ的值；
（2）先根据三向量的坐标，利用平面向量模的计算方法及平面向量的数量积运算法则化简所求的式子，利用两角和与差的余弦函数公式及平方差公式化简后，再利用同角三角函数间的平方关系化简，可得出所求式子的值．

解答：解：（1）∵

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），且

b

∥

c

，
∴2cos（α-β）+cos（α+β）=0，即2（cosαcosβ+sinαsinβ）+cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∴3cosαcosβ+sinαsinβ=0，又α，β≠kπ+

π

2

（k∈Z），
∴tanα•tanβ=-3；
（2）∵

a

=（sinα，sinβ），

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），
∴

a

2+

b

•

c

=sin²α+sin²β+cos（α-β）cos（α+β）-2
=sin²α+sin²β+cos²αcos²β-sin²αsin²β-2
=sin²α+（1-sin²α）sin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²αsin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²α（sin²β+cos²β）-2
=sin²α+cos²α+2
=1-2
=-1．

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的余弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．