题目内容
下列命题：
（1）若函数f（x）=lg（x+
），为奇函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知
=(sinθ，
)，
=(1，
)，其中θ∈（π，
），则
⊥
（4）在△ABC中，
=a，
=b，若a•b＜0，则△ABC是钝角三角形
（ 5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
=
+λ(
+
)，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的内心．
以上命题为真命题的是
（1）若函数f（x）=lg（x+
| x2+a |
（2）函数f（x）=|sinx|的周期T=π；
（3）已知
| a |
| 1+cosθ |
| b |
| 1-cosθ |
| 3π |
| 2 |
| a |
| b |
（4）在△ABC中，
| BA |
| AC |
（ 5）O是△ABC所在平面上一定点，动点P满足：
| OP |
| OA |
| ||
| sinC |
| ||
| sinB |
以上命题为真命题的是
（1）（2）（3）（5）
（1）（2）（3）（5）
．分析：（1）若函数f（x）=lg（x+
）为奇函数，则f（0）=0，则此能求出a的值；
（2）由正弦函数的图象知函数能求出f（x）的周期；
（3）写出两个向量的数量积，运用同角三角函数的基本关系式整理即可得到结论；
（4）在△ABC中，
=
，
=
，
•
＜0，则∠BAC是锐角，由此无法判断△ABC一定是钝角三角形；
（5）把给出等式中的角的正弦值用对应边长和外接圆半径表示，移向整理后得
=2Rλ（
+
），由此式可知直线AP一定通过△ABC的内心．
| x2+a |
（2）由正弦函数的图象知函数能求出f（x）的周期；
（3）写出两个向量的数量积，运用同角三角函数的基本关系式整理即可得到结论；
（4）在△ABC中，
| BA |
| a |
| AC |
| b |
| a |
| b |
（5）把给出等式中的角的正弦值用对应边长和外接圆半径表示，移向整理后得
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
解答：解：若函数f（x）=lg（x+
）为奇函数，
则f（0）=lg（0+
）=lg
=0，解得a=1，故（1）成立；
由正弦函数的图象知函数f（x）=|sinx|的周期T=π，故（2）成立；
∵
=(sinθ，
)，
=(1，
)，其中θ∈（π，
），
∴
•
=sinθ+
=sinθ-sinθ=0，
∴
⊥
，故（3）成立；
在△ABC中，
=
，
=
，
•
＜0，
则∠BAC是锐角，△ABC不一定是钝角三角形，故（4）不成立；
如图，
在△ABC中，由
=
=2R（R为三角形ABC外接圆半径），
所以sinC=
，sinB=
，
所以
=
+λ（
+
）=
+λ（
+
）=
+2Rλ（
+
），
即
=2Rλ（
+
），
所以直线AP一定通过△ABC的内心．故（5）正确．
故答案为：（1）（2）（3）（5）．
| x2+a |
则f（0）=lg（0+
| 0+a |
| a |
由正弦函数的图象知函数f（x）=|sinx|的周期T=π，故（2）成立；
∵
| a |
| 1+cosθ |
| b |
| 1-cosθ |
| 3π |
| 2 |
∴
| a |
| b |
| 1-cos2θ |
∴
| a |
| b |
在△ABC中，
| BA |
| a |
| AC |
| b |
| a |
| b |
则∠BAC是锐角，△ABC不一定是钝角三角形，故（4）不成立；
如图，
在△ABC中，由
|
| ||
| sinC |
|
| ||
| sinB |
所以sinC=
|
| ||
| 2R |
|
| ||
| 2R |
所以
| OP |
| OA |
| ||
| sinC |
| ||
| sinB |
| OA |
2R
| ||
|
|
2R
| ||
|
|
| OA |
| ||
|
|
| ||
|
|
即
| AP |
| ||
|
|
| ||
|
|
所以直线AP一定通过△ABC的内心．故（5）正确．
故答案为：（1）（2）（3）（5）．
点评：本题考查了命题的真假的判断与运用，是中档题．解题时要认真审题，注意奇函数、向量的数量积、三角函数、正弦定理等知识点的合理运用．
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（0＜x＜1）的最大函数值为
；
≥
．