题目内容
14．袋A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是$\frac{1}{3}$，从B中摸出一个红球的概率是P，若A、B两个袋中球数之比1：2，将两袋中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是$\frac{4}{9}$．（1）求P的值；
（2）从B中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
①求恰好摸5次停止的概率；
②记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．
分析 （1）设A中有m个球，根据A、B两个袋子中的球数之比为1：2，则B中有2m个球．将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是$\frac{4}{9}$，得到方程，即可求得概率．
（2）①由于每次从A中摸一个红球的概率是$\frac{1}{2}$，摸不到红球的概率为$\frac{1}{2}$，根据独立重复试验的概率公式可得恰好摸5次停止的概率．
②由题意ξ～（5，$\frac{1}{2}$），由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．
解答 解：（1）设A中有m个球，A、B两个袋子中的球数之比为1：2，则B中有2m个球，
∵将A、B中的球装在一起后，从中摸出一个红球的概率是$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{\frac{1}{3}m+2mp}{3m}$=$\frac{4}{9}$，解得p=$\frac{1}{2}$．
（2）①恰好摸5次停止，故前4次摸到2次红球，第5次摸到红球，
∴p1=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{2}•\frac{1}{2}$=$\frac{3}{16}$．
②由题意ξ～（5，$\frac{1}{2}$），
∴P（ξ=0）=${C}_{5}^{0}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$，
P（ξ=1）=${C}_{5}^{1}（\frac{1}{2}）（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{5}{32}$，
P（ξ=2）=${C}_{5}^{2}（\frac{1}{2}）^{2}（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{10}{32}$，
P（ξ=3）=${C}_{5}^{3}（\frac{1}{2}）^{3}（\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{10}{32}$，
P（ξ=4）=${C}_{5}^{4}（\frac{1}{2}）^{4}（\frac{1}{2}）$=$\frac{5}{32}$，
P（ξ=5）=${C}_{5}^{5}（\frac{1}{2}）^{5}$=$\frac{1}{32}$，
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{32}$ | $\frac{5}{32}$ | $\frac{10}{32}$ | $\frac{10}{32}$ | $\frac{5}{32}$ |
点评 本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于中档题．
| A． | y=x2•sinx | B． | y=x•cosx | C． | y=ln|x| | D． | y=2x-1 |
| A． | 0 | B． | -1 | C． | 1 | D． | 2 |
| A． | 38 | B． | 35 | C． | 32 | D． | 6 |
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC周长的取值范围．
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | -$\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $-\frac{3}{2}$ |